Matemática discreta Ejemplos

$(y + 2) (y - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Paso 1

Expande $(y + 2) (y - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(y (y - 6) + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 (y - 6)) (y^{2} - 4 y + 12)$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(y \cdot y + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Paso 2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$(y^{2} + y \cdot - 6 + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Paso 2.1.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de $y$ .

$(y^{2} - 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 6) (y^{2} - 4 y + 12)$

Paso 2.1.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$(y^{2} - 6 y + 2 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

Paso 2.2

Suma $- 6 y$ y $2 y$ .

$(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$

Paso 3

Expande $(y^{2} - 4 y - 12) (y^{2} - 4 y + 12)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Combina los términos opuestos en $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + y^{2} \cdot 12 - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$ .

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Paso 4.1.1

Reordena los factores en los términos $y^{2} \cdot 12$ y $- 12 y^{2}$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) + 12 y^{2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 y^{2} - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.1.2

Resta $12 y^{2}$ de $12 y^{2}$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 + 0 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.1.3

Suma $y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12$ y $0$ .

$y^{2} y^{2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2 + 2} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$y^{4} + y^{2} (- 4 y) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{4} - 4 y^{2} y - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.3.1

Mueve $y$ .

$y^{4} - 4 (y \cdot y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{4} - 4 (y^{1} y^{2}) - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{4} - 4 y^{1 + 2} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y \cdot y^{2} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.4

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.4.1

Mueve $y^{2}$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 (y^{2} y^{1}) - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{2 + 1} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 y (- 4 y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y \cdot y - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.6

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.6.1

Mueve $y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.6.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} - 4 \cdot - 4 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.7

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 4 y \cdot 12 - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.8

Multiplica $12$ por $- 4$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y - 12 (- 4 y) - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.9

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 12 \cdot 12$

Paso 4.2.10

Multiplica $- 12$ por $12$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$

Paso 4.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.3.1

Combina los términos opuestos en $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 48 y + 48 y - 144$ .

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Paso 4.3.1.1

Suma $- 48 y$ y $48 y$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} + 0 - 144$

Paso 4.3.1.2

Suma $y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2}$ y $0$ .

$y^{4} - 4 y^{3} - 4 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Paso 4.3.2

Resta $4 y^{3}$ de $- 4 y^{3}$ .

$y^{4} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + 16 y^{2} - 144$

Paso 5.2

Reescribe $16 y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - 144$

Paso 5.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Paso 5.4

Reescribe el polinomio.

${(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - 144$

Paso 5.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = y^{2}$ y $b = 4 y$ .

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 144$

Paso 6

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

${(y^{2} - 4 y)}^{2} - 12^{2}$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y^{2} - 4 y$ y $b = 12$ .

$(y^{2} - 4 y + 12) (y^{2} - 4 y - 12)$

Paso 8

Factoriza.

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Paso 8.1

Factoriza $y^{2} - 4 y - 12$ con el método AC.

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Paso 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 6, 2$

Paso 8.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(y^{2} - 4 y + 12) ((y - 6) (y + 2))$

Paso 8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(y^{2} - 4 y + 12) (y - 6) (y + 2)$